Ejercicios de Programación Lineal

CASO 01:

En una empresa de sistema de cámaras y alarmas, un técnico cuenta con 120 metros de cable UTP y 80 metros de cable de energía para las instalaciones de dichos dispositivos. La instalación de una cámara IP, requiere de 6 metros de cable UTP y 2 metros de cable de energía; y, la instalación de una alarma, requiere de 4 metros de cable UTP y 4 metros de cable de energía.
Hallar el número máximo de instalaciones de cámaras y alarmas que debe instalar el técnico para maximizar los beneficios, ya que las instalaciones de cámara y alarma se vende por el mismo precio.

CASO 02:
Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio, y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable tipo A, se necesita 10 kg de cobre, 2 kg de titanio y 1 kg de aluminio, y se obtiene de el un beneficio de 1500 euros. Para fabricar 100 metros de cable tipo B, se necesita 15 kg de cobre, 1 kg de titanio y 1 kg de aluminio, y se obtiene un beneficio de 1000 euros.
¿Calcula cuantos metros de cable hay que fabricar de cada tipo para que el beneficio sea máximo, Cual es ese beneficio?

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Programación Lineal

Introducción

PROGRAMACIÓN LINEAL

Es un enfoque de solución de problemas elaborado para ayudar a tomar decisiones. Es un modelo matemático con una función objetivo lineal, un conjunto de restricciones lineales variables no negativas. En el ambiente de negocios actual, pueden encontrarse gran cantidad de aplicaciones.

La función objetivo define la cantidad que se va a maximizar o minimizar en un modelo de programación lineal.

Las restricciones limitan o reducen el grado en que puede perseguirse el objetivo.

Las variables son las entradas controlables en el problema

Para resolver un problema de programación lineal es recomendable seguir ciertos pasos que son:

1. Entender el problema a fondo.
2. Describir el objetivo.
3. Describir cada restricción.
4. Definir las variables de decisión.
5. Escribir el objetivo en función de las
variables de decisión.
6. Escribir las restricciones en función de
las variables de decisión.
7. Agregar las restricciones de no negatividad

TÉRMINOS CLAVE

Modelo Matemático
Representación de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de restricción se describen con expresiones matemáticas.

Restricciones de no negatividad
Conjunto de restricciones que requiere que todas las variables sean no negativas.

Solución Factible
Solución que satisface simultáneamente todas las restricciones.

Región Factible
Conjunto de todas las soluciones factibles.

Variable de holgura
Variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menos o igual que" para convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado.

Forma Estándar
Programación lineal en el que todas las restricciones están escritas como igualdades. La solución óptima de la forma estándar de un programa lineal es la misma que la solución óptima de la formulación original del programa lineal.

Punto Extremo
Desde el punto de vista gráfico, los puntos extremos son los puntos de solución factible que ocurren en los vértices o "esquinas" de la región factible. Con problemas de dos variables, los puntos extremos están determinados por la intersección de las líneas de restricción.

Variable de Excedente
Variable restada del lado izquierdo de una restricción de "mayor o igual que" para convertir dicha restricción en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable puede interpretarse como la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido.

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O.N.P.

El Sistema Nacional de Pensiones

El Sistema Nacional de Pensiones, es un sistema de reparto, el cual tiene como característica principal el otorgamiento de prestaciones fijas sobre contribuciones no definidas en valor suficiente para que la aportación colectiva de los trabajadores financie el total de las pensiones. En la actualidad, este sistema es administrado por la Oficina de Normalización Previsional (ONP). El aporte a la ONP equivale al 13% de la remuneración. El empleador debe efectuar la retención al trabajador, y declararlo y pagarlo en su totalidad mensualmente a la ONP mediante un Formulario Virtual. (Fuente: http://orientacion.sunat.gob.pe/)

Ejemplo:

Un trabajador de una empresa “x”, labora obteniendo como pago la remuneración mínima vital. Para saber cuánto tiene que aportar a la O.N.P., haremos el cálculo:

S/. 750.00 x  13% = S/. 97.50 (mensual)

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I.G.V.

EL I.G.V.

El I.G.V., es considerado como un impuesto indirecto, ya que quien soporta su carga económica no es el vendedor de bienes o prestador de los servicios, sino un tercero que es el comprador o consumidor final. En nuestro país se encuentra vigente, desde el 01 de marzo del 2011, la tasa de 18% del Impuesto General a las ventas. promulgada por el Ejecutivo, luego que el Congreso, aprobara los proyectos de ley del Ejecutivo que proponen rebajar de 19% a 18% la tasa del Impuesto General a las Ventas (I.G.V.).

Ejemplo:

Un cinéfilo y asiduo cliente de un cine local, acude al estreno de una anunciada película. Al momento de pagar su entrada, que en días regulares cuesta S/.14. 00 sin IGV, la cajera le dice que por su preferencia ha obtenido el 20% de descuento. Para saber cuánto es el costo final de su entrada, haremos el cálculo:

Precio regular de la entrada :       S/.14.00 + 18% = 16.52 = S/. 16.60 (redondeo)

Precio con descuento (-20%):      S/. 16.60 – 20% = S/. 13.20

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SISTEMA P.O.S.

EL PORCENTAJE DEL SISTEMA P.O.S.

Los sistemas P.O.S. por sus siglas en inglés Point of Sales (punto de venta), son sistemas completamente automáticos para la gestión de inventarios, puntos de ventas y control del personal. El sistema, también asiste a las franquicias en los informes diarios de caja, además de poseer un avanzado método electrónico de lectura de códigos de barra en las cajas registradoras o distintos puntos de venta, como así también un soporte para las compras con tarjetas de crédito. El contar con un sistema POS permite que los negocios superen la barrera del efectivo, ganen más clientes, ofrezcan compras más seguras y eleven el consumo promedio en sus establecimientos. Los comercios deben abonar comisiones fijas por transacción a la empresa dueña del POS. Es decir, que de cada consumo con tarjetas se descuenta un porcentaje de 4,15% para tarjetas de crédito y de 3,25% para las de débito.   (Fuente: http://elcomercio.pe/economia/peru/vale-pena-implementar-pos-negocio-noticia-1767189)

Ejemplo:

Una pareja acude a un restaurante local y hace un consumo de S/ 200.00. Al momento de pagar le indican al mesero que harán el pago haciendo uso de una tarjeta de débito. El restaurante que brinda el servicio tendrá que hacer un pago por el uso del P.O.S. Para calcular el pago, haremos el cálculo:

                                                                         S/.200.00 x 3.25% = S/. 6.50 

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Porcentajes

PORCENTAJE

El porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene el número 100 como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa de cada cien unidades. Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.

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Beneficios

BENEFICIOS

·         Capacidad analítica, de abstracción y de síntesis
·         Capacidad organizativa, propositiva y de planificación
·         Habilidades elementales en ciencias computacionales
·         Análisis y resolución de problemas
·         Toma de decisiones
·         Capacidad de crítica y autocrítica
·         Trabajo en equipo
·         Capacidad para aplicar la teoría en la práctica
·         Habilidades de investigación
·         Capacidad de adaptación a nuevas situaciones
·         Capacidad de argumentar y generar nuevas ideas
·         Serán capaces de integrar y aplicar el conocimiento adquirido para resolver problemas en entornos nuevos dentro de contextos más amplios y multidisciplinarios.
·         Estarán en capacidad de comprender sistemáticamente las Ciencias Computacionales, y de comprender y utilizar el lenguaje formal para la especificación y redacción de resultados.
·         Podrán abstraer las propiedades estructurales de las observaciones para representarlas en un modelo.
·         Podrán proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales, utilizando las lógicas matemáticas y computacionales de forma adecuada. Esto les permitirá aplicar los métodos lógico-matemáticos para resolver problemas de fundamentación y/o modelización.
·         Estarán en capacidad de aplicar los métodos de la lógica computacional para resolver problemas de programación, de verificación de programas, de representación y automatización del conocimiento.

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Lógica Computacional

LA LÓGICA COMPUTACIONAL

La lógica computacional es la misma lógica matemática aplicada al contexto de las ciencias de la computación. Su uso es fundamental a varios niveles: en los circuitos computacionales, en la programación lógica y en el análisis y optimización (de recursos temporales y espaciales) de algoritmos. Entiéndase por algoritmo en matemáticas, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, como un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien lo ejecute. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución.

La lógica funda sus teorías en las Ciencias Computacionales, como lo plantean las recomendaciones curriculares de los diferentes organismos internacionales como la Association for Computing Machinery -ACM- y el Institute for Electrical and Electronic Engineers -IEEE. Estos entes proponen utilizar la lógica en las Ciencias Computacionales como instrumento de la tarea de representación y resolución de problemas por medio del computador. Además, reconocen el carácter fundamental de la lógica como herramienta imprescindible para el ingeniero, ya que le permite elaborar especificaciones formales y formalizar líneas de razonamiento, diseño y descripción de sistemas.

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Aplicaciones

APLICACIÓN

CIRCUITOS COMPUTACIONALES:

El nivel menos abstracto dentro de una computadora está constituido por circuitos electrónicos que responden a diferentes señales eléctricas, esto es, compuertas lógicas que devuelven un valor dependiendo de las entradas que se le dan al sistema.

Todo sistema computacional, por muy complejo que sea, no está compuesto por más que circuitos electrónicos que únicamente entienden un lenguaje binario. La lógica computacional se encarga de modelar y optimizar tales sistemas a este nivel.

PROGRAMACIÓN LÓGICA:

Toda persona que pretenda construir un programa que dé solución a determinada problemática, se enfrenta a dos grandes tareas:

1.                  El “QUÉ”: acciones a realizar para poder resolver el problema. Esta tarea forma parte del trabajo de mesa previo a toda actividad de programación.

2.                  El “CÓMO”: instrucciones de las que se va a valer para escribir el código que realice las acciones determinadas en el QUÉ, las cuales están determinadas por el lenguaje de programación seleccionado.

Muchas personas confunden la Programación con la Lógica de Programación, la primera involucra el conocimiento de técnicas e instrucciones de un determinado lenguaje a través de los cuales se hace sencillo lograr que la computadora obtenga unos resultados mucho más rápidos que una persona. La segunda involucra, de una manera técnica y organizada, los conceptos que permiten diseñar en términos generales, la solución a problemas que pueden llegar a ser implementados a través de una computadora. 

El estudio de la Lógica de Programación no exige ningún conocimiento previo de computadora ni de tecnología en general, tampoco exige la presencia de algún lenguaje de programación específico aunque no puede negarse que éste podría permitir, solo después que se manejen bien los conceptos de lógica de programación, implementar y ver convertida en realidad las soluciones lógicas a sus objetivos.

LA LOGICA FORMAL:

Los lenguajes formales se utilizan en el razonamiento de programas, lo mismo que el cálculo proposicional. En la lógica de programación se crea un lenguaje -seudocódigo- con el que se expresa ciertas propiedades de los programas, como corrección, equivalencia de programas o el teorema de finitud.

LA ESPECIFICACIÓN FORMAL: 

Es una de las aplicaciones más importantes de la lógica de predicados, y que se utiliza para describir los requisitos que el usuario necesita que realice el programa. Es un una aplicación de la lógica computacional utilizada en el desarrollo de software crítico, de tal manera que los componentes del sistema especificados formalmente, pueden verificarse y validarse matemáticamente, lo que incrementa la confiabilidad y calidad del sistema completo. Lenguajes de especificación formal como Z o VDM se basan en estos principios. La especificación formal. Es una de las aplicaciones más importantes de la lógica de predicados, y que se utiliza para describir los requisitos que el usuario necesita que realice el programa. Es un una aplicación de la lógica computacional utilizada en el desarrollo de software crítico, de tal manera que los componentes del sistema especificados formalmente, pueden verificarse y validarse matemáticamente, lo que incrementa la confiabilidad y calidad del sistema completo. Lenguajes de especificación formal como Z o VDM se basan en estos principios.

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La Lógica Computacional

LA LÓGICA COMPUTACIONAL

La lógica computacional es la misma lógica matemática aplicada al contexto de las ciencias de la computación. Su uso es fundamental a varios niveles: en los circuitos computacionales, en la programación lógica y en el análisis y optimización (de recursos temporales y espaciales) de algoritmos. Entiéndase por algoritmo en matemáticas, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, como un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien lo ejecute. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución.

La lógica funda sus teorías en las Ciencias Computacionales, como lo plantean las recomendaciones curriculares de los diferentes organismos internacionales como la Association for Computing Machinery -ACM- y el Institute for Electrical and Electronic Engineers -IEEE. Estos entes proponen utilizar la lógica en las Ciencias Computacionales como instrumento de la tarea de representación y resolución de problemas por medio del computador. Además, reconocen el carácter fundamental de la lógica como herramienta imprescindible para el ingeniero, ya que le permite elaborar especificaciones formales y formalizar líneas de razonamiento, diseño y descripción de sistemas.

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La Lógica

LA LÓGICA

El nacimiento de la lógica propiamente dicho está directamente relacionado con el nacimiento intelectual del ser humano. La lógica emerge como mecanismo espontáneo en el enfrentamiento del hombre con la naturaleza, para comprenderla y aprovecharla.

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Introducción

INTRODUCCIÓN

La  lógica  se considera como  un  elemento  fundamental dentro  del  proceso  de  formación   de  los  estudiantes  de Ingeniería  de  Sistemas  y  Computación ya que  posee  una estrecha  relación  con  áreas  como  las  matemáticas  discretas  y  la  programación. También está  relacionada con  la  inteligencia  artificial, puesto que la  lógica es la  base de los  métodos  para  representar   el conocimiento.

Así también, en la ingeniería  de software, la lógica  tiene una aplicación relacionada con la especificación  de  requisitos  y componentes  de  software, mediante  el uso  de  lenguajes formales.

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Videos Tutoriales

Tablas de Verdad para 1 - 2 proposiciones

                                              Tablas de Verdad para 3 proposiciones

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Ejercicios resueltos-Semana 1

Variables de Proposiciones Lógicas



Proposiciones Lógicas

Tablas de Verdad

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